Смешанное число — это сумма: 235 = 2 + 35. При сложении слагаемые можно переставлять, поэтому смешанные числа складывают по частям: целые с целыми, дроби с дробями. При умножении сумма ведёт себя иначе, и привычный способ подводит.
Увидеть разницу помогает площадь. Произведение двух чисел можно представить площадью прямоугольника, у которого стороны равны этим числам; так умножение дробей вводят в белорусском учебнике для 5 класса. Если сторона — смешанное число, её делят на целую и дробную часть, и сразу видно, из каких кусков складывается площадь. В белорусских учебниках такие числа называют смешанными, в российской федеральной программе встречается и название «смешанная дробь».
Начнём со случая, где разница со сложением видна сразу, — когда оба множителя смешанные.
Оба множителя смешанные
Почему нельзя умножать по частям
Раз при сложении смешанные числа складывали по частям, хочется и умножать так же: только целые на целые и дроби на дроби. Проверим на числе, которое легко нарисовать: 112 × 112. По частям выходит 1 × 1 = 1 и 12 × 12 = 14, всего 114.
Теперь посчитаем честно, площадью. 112 × 112 — площадь квадрата со стороной 112. Разделим каждую сторону на целую единицу и половину, и квадрат распадётся на четыре куска.
Площадь квадрата со стороной 112
Целый квадрат
Квадрат 1 на 1.
1 × 1 = 1
Две полоски
Вдоль одной стороны и вдоль другой: каждая по 1/2.
1 × 12 = 12
Маленький уголок
Половина на половину.
12 × 12 = 14
Складываем куски
1 + 12 + 12 + 14 = 214
Ответ
214
По частям ребёнок посчитал только большой квадрат и уголок, а две полоски потерял — целую единицу. Дело в том, что смешанное число — это сумма. Когда перемножают две суммы, каждую часть первого числа приходится умножать на каждую часть второго, и кусков получается четыре, а не два. Потерянные полоски всегда занимают какую-то площадь, так что ответ по частям меньше верного. Следить за четырьмя кусками неудобно, а в больших числах легко один пропустить. Поэтому надёжнее сначала записать каждое смешанное число одной дробью: тогда у каждого множителя одна часть, и работает обычное правило умножения дробей.
Как сказать ребёнку: «Смешанное число — это сумма целой части и дроби. Если умножить только целые на целые и дроби на дроби, часть произведения потеряется: 112 × 112 равно 214, а не 114».
Перевод в неправильные дроби
Неправильная дробь хранит смешанное число целиком: величина та же, меняется только запись. Зато у множителя остаётся одна часть, и терять нечего. Как перевести смешанное число в неправильную дробь, ребёнок знает по теме о дробях. Целые записывают долями того же знаменателя и добавляют дробную часть: 215 = 2 + 15 = 105 + 15 = 115.
Дальше работает правило умножения обыкновенных дробей: числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель. Общий знаменатель искать не надо: его ищут, когда доли складывают или вычитают, а при умножении доли не складывают.
112 × 215
Переводим в неправильные дроби
112 = 32, 215 = 115
Перемножаем
32 × 115 = 3310
Выделяем целую часть
3310 = 3310
Ответ
3310
Проверим путь на первом примере: 112 × 112 = 32 × 32 = 94 = 214 — столько же, сколько дали четыре куска.
Сокращение и ответ
После перевода числа в числителях и знаменателях растут, и перемножать их целиком неудобно. Числитель и знаменатель ответа — произведения, поэтому общий множитель удобно убрать до умножения. Это разрешает основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Числитель одной дроби и знаменатель другой делим на число, на которое делятся оба, — обычно его видно сразу. Если сокращается что-то ещё, сокращаем снова. Такой приём называют сокращением накрест. Сокращают только после перевода в неправильные дроби: в 235 = 135 весь числитель — 13, а не 3.
235 × 334
Переводим в неправильные дроби
235 = 135, 334 = 154
Сокращаем накрест
15 и 5 делим на 5.
135 × 154 = 131 × 34
Перемножаем
131 × 34 = 394
Выделяем целую часть
394 = 934
Ответ
934
Если сократить заранее не заметили, ничего страшного: тогда выходит 19520, и эту дробь сокращают в конце: 19520 = 394. Неправильную дробь в ответе превращают в смешанное число; какой вид ответа принят в школе, — в вопросах в конце.
Правило удобно закрепить на отдельных примерах: умножение смешанных чисел. Лист с заданиями и онлайн-тренажёр — в блоках на этой странице.
Умножение на целое число
Когда второй множитель — целое, то есть натуральное, число, картина проще: у целого числа нет дробной части, это одна часть. Здесь выручает распределительное свойство: чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить. В белорусском учебнике его называют распределительным законом, а в российской федеральной программе встречаются оба названия — свойство и закон.
Если разбить на части оба числа, произведений будет четыре, как кусков на картинке, и одно легко потерять. Если разбито одно число, а второе целое, произведений всего два: каждую часть умножают на всё целое число. Отсюда правило: при умножении на целое удобно считать по частям через распределительное свойство, а когда оба числа смешанные, надёжнее перевести их в дроби.
Общий путь здесь тоже работает: целое число записывают дробью со знаменателем 1.
213 × 3
Переводим в дроби
213 = 73, 3 = 31
Перемножаем
Можно и сразу сократить 3 и 3.
73 × 31 = 213
Делим
213 = 7
Ответ
7
Второй способ — по частям. Он опирается на распределительное свойство, знакомое по натуральным числам; для дробей оно тоже выполняется, так сказано в белорусском учебнике для 5 класса. Он удобен, когда целая часть большая.
213 × 3 по частям
Умножаем целую часть
2 × 3 = 6
Умножаем дробную часть
13 × 3 = 33 = 1
Складываем
6 + 1 = 7
Ответ
7
Ответ тот же. Если учитель требует определённый способ, следуйте ему.
1012 × 4 = 40 + 2 = 42
С большой целой частью выигрыш счёта по частям заметнее
Четыре куска квадрата из первого раздела — то же свойство, применённое дважды: (1 + 12) × 112 = 1 × 112 + 12 × 112 = 112 + 34 = 214. А 1 × 112 = 1 + 12 и 12 × 112 = 12 + 14 — это и есть четыре куска.
Порядок множителей не важен: 3 × 213 = 7, поэтому всё сказанное годится и когда целое стоит первым. Если дробная часть, умноженная на целое, станет неправильной, её превращают в смешанное число и добавляют к целым: 112 × 3 = 3 + 32 = 3 + 112 = 412.
Как сказать ребёнку: «На 3 умножили и целую часть, и дробную? 213 × 3 — это три раза по 2 и три раза по 13: 6 + 1 = 7».
Умножение на обыкновенную дробь
Остался случай, когда второй множитель — обыкновенная дробь. По сравнению с первым разделом меняется только одно: в неправильную дробь переводят одно число. У обыкновенной дроби и так одна часть, поэтому общий путь здесь самый короткий.
214 × 23
Переводим смешанное число
214 = 94
Сокращаем накрест
9 и 3 на 3, 2 и 4 на 2.
94 × 23 = 32 × 11
Перемножаем
32 × 11 = 32
Выделяем целую часть
32 = 112
Ответ
112
Ответ легко прикинуть: 23 меньше единицы, поэтому произведение меньше 214. На число больше единицы, наоборот, произведение больше — как в первом разделе, где 112 × 112 дало 214.
Типичные ошибки
Умножают только целые на целые и дроби на дроби
235 × 334 = 6920
Почему возникает. Ребёнок переносит привычку из сложения: там смешанные числа складывали по частям, и умножение кажется таким же действием.
934
Как объяснить. Спросите: «Если прямоугольник со сторонами 235 и 334 разрезать на целые и дробные полосы, сколько кусков получится — два или четыре?» Кусков четыре, вместе они дают 934. Если ребёнок сомневается, вернитесь к картинке с квадратом.
Умножают на целое только целую часть
212 × 3 = 612
Почему возникает. Дробная часть «приклеена» к целой и выпадает из внимания: ребёнок умножил крупное число и остановился.
712
Как объяснить. Предложите проверить сложением: « 212 + 212 + 212 — сколько получится? 712, а не 612». Почему умножать нужно обе части, разобрано в разделе про умножение на целое число.
Умножают на целое и числитель, и знаменатель
213 × 3 = 73 × 3 = 219 = 213
Почему возникает. Ребёнок путает умножение дроби на число с основным свойством дроби, где числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.
7
Как объяснить. «Мы умножили на 3 — число должно вырасти, а осталось 213. Тройку записываем как 31: 73 × 31 = 213 = 7». Так работает способ с дробью со знаменателем 1.
Ошибаются при переводе в неправильную дробь
235 = 65
Почему возникает. Целую часть умножают на числитель вместо знаменателя: оба числа стоят рядом, и легко взять не то.
135
Как объяснить. Повторите вместе: «Сколько пятых в двух целых? Десять. И ещё три пятых — всего 135». Если ребёнок путается, разберите перевод в неправильные дроби ещё раз.
Не доводят ответ
114 × 225 = 6020
Почему возникает. Ребёнок перемножил и считает пример решённым, а за большими числами не видно, что 6020 сокращается.
3
Как объяснить. Доведите ответ до конца: «На какое число делятся и 60, и 20? Сколько раз 20 помещается в 60? Три раза, значит, ответ 3». Большие числа появляются, когда не сократили до умножения, — об этом раздел о сокращении и ответе.
Следующий шаг — деление дробей и деление смешанных чисел.
Памятки по теме
Если нужно быстро вспомнить порядок или объяснить его ребёнку, не обязательно перечитывать весь материал. Мы собрали две короткие памятки: для родителя — с готовым алгоритмом объяснения, и для ребёнка — с переводом в неправильную дробь и сокращением накрест.
Откройте памятку на экране или скачайте их для печати.
Закрепить тему на заданиях
Когда ребёнок переводит смешанные числа в неправильные дроби, дайте короткую серию примеров на умножение смешанной дроби на смешанную. Скачайте задания и отдельный файл с ответами для проверки или попробуйте онлайн-тренажёр.