Деление смешанных чисел: как объяснить ребёнку

Поэтому полезнее сначала увидеть, какую дробь переворачивают: когда ребёнок понимает, на какое число делит, перевернуть не ту уже трудно.

Начнём с того, какую дробь переворачивают и почему — без этого легко перепутать действия.

Какую дробь переворачивают и почему

При делении всегда переворачивают вторую дробь — ту, на которую делят. Это делитель: он отвечает на вопрос «на сколько делим». Делимое остаётся как есть. Почему так и откуда правило «умножить на обратную» разобрано в статье о делении обыкновенных дробей. Здесь важно другое: у смешанного числа обратное ищут только после перевода.

Два числа называют взаимно обратными (ещё говорят «взаимно-обратные дроби»), если их произведение равно 1. Для обыкновенной дроби обратную получают, поменяв местами числитель и знаменатель: 56 × 65 = 1. У смешанного числа рядом стоят целая и дробная части, а числителя и знаменателя одной дроби ещё нет — поэтому его сначала записывают неправильной дробью и только потом меняют местами числитель и знаменатель.

С целым числом ещё проще: 3 = 31, поэтому обратное к 3 — это 13.

Оба числа смешанные

Когда смешанные и делимое, и делитель, в неправильные дроби переводят оба. Делимое — чтобы потом перемножить числители и знаменатели, делитель — чтобы его перевернуть. Как перевести смешанное число в неправильную дробь, ребёнок знает по теме о дробях.

Дальше действуем по порядку: берём число, обратное делителю, заменяем деление умножением, сокращаем, перемножаем и выделяем целую часть. Сокращают только после того, как деление заменили умножением. Пока стоит знак «÷», делитель ещё не перевёрнут, и пары для сокращения легко выбрать не те.

Сокращение то же, что при умножении дробей: числитель одной дроби и знаменатель другой делят на одно число. Это разрешает основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Ответ удобно проверить умножением. Это не обязательный шаг из учебника, а приём, который быстро ловит ошибку: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Здесь 2 × 135 = 2 × 85 = 165 = 315 — вернулось делимое, значит, ответ верный. Если по ошибке перевернуть делимое, проверка сразу это покажет.

А общий знаменатель искать не нужно? Нет. Его ищут, когда доли складывают или вычитают, а при делении доли не складывают: после переворота делителя числители и знаменатели просто перемножают.

Деление на обыкновенную дробь

Смешанное на обыкновенную

Если делитель — обыкновенная дробь, путь тот же, только в неправильную дробь переводят одно число — делимое. Делитель и так записан одной дробью, его сразу переворачивают.

Дробь на смешанное

Бывает и наоборот: делимое — обыкновенная дробь, а делитель — смешанное число. Здесь легко ошибиться: обыкновенная дробь в записи одна, и рука тянется перевернуть её. Но переворачивают по-прежнему делитель — смешанное число, и сначала его переводят в неправильную дробь.

Проверка умножением: 13 × 115 = 13 × 65 = 25.

Деление на целое число

Когда делитель — целое, то есть натуральное, число, обратное найти проще всего. Целое число записывают дробью со знаменателем 1: 3 = 31. Значит, обратное к нему — 13, и деление на 3 — это умножение на 13.

По частям — только на целое

Есть и второй способ — по частям. Он опирается на распределительное свойство умножения, знакомое по натуральным числам; для дробей оно тоже выполняется. Мы уже видели, что разделить на 3 — то же, что умножить на 13. А сумму можно умножить на число по частям: каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить. Смешанное число 634 — это сумма 6 + 34, поэтому каждую его часть умножают на 13, то есть делят на 3, и складывают.

Общий путь даёт то же: 634 = 274, и 274 × 13 = 94 = 214. По частям удобно, когда обе части легко делятся на делитель. Если учитель требует определённый способ, следуйте ему.

Правило простое: делимое смешанное, а делитель целый — по частям можно. Если делитель смешанный, в том числе когда целое число делят на смешанное, — только через неправильные дроби. Делить смешанное на смешанное по частям тоже нельзя.

Целое на смешанное

Если делимое — целое число, а делитель смешанный, путь тот же, что для двух смешанных чисел: целое записывают дробью со знаменателем 1, а делитель переводят и переворачивают.

Здесь особенно хочется разбить делитель: 8 ÷ 1 + 8 ÷ 35 = 8 + 403 = 2113. Но так делить нельзя: число нельзя делить на сумму по частям. Ошибку видно и без счёта: делитель больше единицы, значит, частное должно быть меньше 8, а 2113 больше. Проверка подтверждает верный ответ: 5 × 135 = 5 × 85 = 8.

Типичные ошибки

Переворачивают делимое вместо делителя

Ищут обратное к смешанному без перевода

При делении на целое умножают на это целое

Делят по частям, когда делитель смешанный

Ошибаются при сокращении

Памятки по теме

Если нужно быстро вспомнить, какую дробь переворачивать, мы собрали две короткие памятки: для родителя — с порядком объяснения и проверкой умножением, и для ребёнка — с четырьмя шагами рядом с тетрадью.

Откройте памятку на экране или скачайте их для печати.

Бесплатно

Закрепить тему на заданиях

Когда ребёнок переводит смешанные числа в неправильные дроби и переворачивает делитель, дайте короткую серию примеров на деление смешанного числа. Скачайте задания и отдельный файл с ответами для проверки или попробуйте онлайн-тренажёр.

Потренироваться на примерах Онлайн-тренажёр

---

Частые вопросы