Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби, то есть дроби, у которой числитель меньше знаменателя. 235 — это две целые единицы и три пятых: сумма 2 + 35. Слагаемые суммы можно переставлять и группировать, поэтому целые части удобно сложить с целыми, а доли — с долями. Похожим образом ребёнок складывает многозначные числа: десятки с десятками, единицы с единицами. Действия с дробными частями те же, что в сложении и вычитании обычных дробей.
Смешанные числа с одинаковыми знаменателями
Сложение и переход через целое
Раз смешанное число — сумма целой части и дроби, сложение распадается на два простых действия. Дробные части с одинаковыми знаменателями ребёнок уже умеет складывать: числители складывают, знаменатель оставляют прежним. Целые складывают как обычные числа, потом соединяют результаты.
317 + 247
Складываем целые
Складываем целые части смешанных чисел.
3 + 2 = 5
Складываем дробные
Знаменатели одинаковые, поэтому складываем числители.
17 + 47 = 57
Ответ
557
У целого числа нет дробной части, а у обычной дроби — целой. Поэтому, если одно из чисел целое или обычная дробь и переход через целое не нужен, меняется только одна часть.
237 + 4 = 637
329 + 59 = 379
Но что делать, если после сложения дробных частей получилась дробь, равная единице или больше неё? Оставить её в ответе нельзя: дробная часть смешанного числа должна быть правильной. Значит, выясняем, сколько целых единиц скрывается в этой дроби, и забираем их к целым: это и есть переход через целое.
247 + 157
Складываем целые
2 + 1 = 3
Складываем дробные
Получилось 397 — это промежуточная запись: дробная часть неправильная, ответ ещё нужно довести.
47 + 57 = 97
Выделяем целую из дроби
В 97 есть 77 — это одна целая, и ещё 27 остаётся.
97 = 127
Прибавляем целую к целым
Эта целая — такая же единица, как остальные, поэтому прибавляем её к трём целым, а 27 остаются дробной частью.
3 + 127 = 427
Ответ
427
Как выделить целую часть из неправильной дроби, подробно рассмотрено в статье про правильные и неправильные дроби.
Так же поступают, когда к смешанному числу прибавляют дробь.
349 + 79 = 3119 = 429
Промежуточная запись — три целых одиннадцать девятых
Если дробные части дают ровно единицу, ответ — целое число. Запись «4 0/8» не используют.
138 + 258 = 388 = 4
Как сказать ребёнку: «Если в дробной части суммы числитель равен знаменателю или больше его, в ней спряталась целая: например, 97 — это одна целая и ещё 27, и эта целая уходит к целым».
Вычитание и заём единицы
Вычитают тоже по частям: если долей у уменьшаемого хватает, целые отнимают от целых, а доли — от долей. А если вычитают целое число, как и при сложении, меняется только целая часть.
529 − 3 = 229
657 − 237
Вычитаем целые
6 − 2 = 4
Вычитаем дробные
57 − 37 = 27
Ответ
427
А как быть, если дробная часть уменьшаемого меньше, чем у вычитаемого? Нужно вспомнить, что любую единицу можно записать дробью с нужным знаменателем: 1 = 55, и величина не изменится. Это заём единицы. Он похож на вычитание столбиком, когда занимают десяток и записывают его как десять единиц. Разница одна: единицу разменивают на столько долей, каков знаменатель, — например, на пять пятых, на восемь восьмых.
615 − 235
Сравниваем дробные части
По частям вычесть не получится.
15 < 35
Занимаем единицу и записываем её долями
Это промежуточная запись: число то же, что 615, просто так удобнее вычитать. В ответе так не оставляют.
615 = 5 + 1 + 15 = 5 + 55 + 15 = 565
Вычитаем по частям
5 − 2 = 3, 65 − 35 = 35
Ответ
335
Как сказать ребёнку: «Если при вычитании долей в дробной части не хватает, разменяй одну целую на доли: 615 — это то же самое, что 5 целых и 65».
Если после заёма целые части сравнялись, ответ меньше единицы. Целых 2 − 2 = 0, ноль целых не пишут, ответ — дробь 47.
327 − 257 = 297 − 257 = 47
Промежуточная запись — две целых девять седьмых
Вычитание из целого числа
Когда уменьшаемое — целое число, дробной части у него нет, но выручает тот же размен единицы на доли. Знаменатель здесь один — у вычитаемого, поэтому общий знаменатель искать не нужно: единицу записывают долями того же знаменателя.
1 − 38 = 88 − 38 = 58
Из 5 разменивают одну единицу: 5 = 488 — промежуточная запись, поэтому 5 − 38 = 458. Если из целого вычитают смешанное число, можно сначала вычесть целую часть, а потом дробную.
7 − 249
Вычитаем целую часть
7 − 2 = 5
Размениваем одну единицу на девятые доли
Это промежуточная запись.
5 = 499
Вычитаем дробь
499 − 49 = 459
Ответ
459
Сложение и вычитание с разными знаменателями
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, сначала их нужно привести к общему знаменателю. После этого действуем по знакомому правилу: складываем или вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним.
Как подобрать общий знаменатель и привести к нему дроби, разобрали в статье «Как привести дроби к общему знаменателю».
112 + 213
Приводим дробные части к общему знаменателю 6
12 = 36, 13 = 26
Складываем целые
1 + 2 = 3
Складываем дробные
36 + 26 = 56
Ответ
356
Если после приведения дробные части дают целую или больше, работает тот же переход через целое.
223 + 134
Приводим к общему знаменателю 12
23 = 812, 34 = 912
Складываем по частям
Получилось 31712 — промежуточная запись.
2 + 1 = 3, 812 + 912 = 1712
Выделяем целую
1712 = 1512, 3 + 1512 = 4512
Ответ
4512
С заёмом порядок важен: сравнивать дробные части можно только после приведения к общему знаменателю.
514 − 223
Приводим к общему знаменателю 12
5312 − 2812
Занимаем единицу
312 меньше 812, поэтому занимаем единицу, как при одинаковых знаменателях.
Это промежуточная запись.
5312 = 41512
Вычитаем по частям
4 − 2 = 2, 1512 − 812 = 712
Ответ
2712
Через неправильные дроби
Смешанное число можно записать и одной неправильной дробью: 247 = 147 + 47 = 187. Число не меняется, меняется только запись. Это перевод, обратный выделению целой части, и ребёнок знает его по теме о неправильных дробях.
Во многих учебниках основной способ — по частям, так, например, объясняют в белорусском учебнике для 5 класса. Через неправильные дроби тоже можно: каждое смешанное число переводят в неправильную дробь, действие выполняют с дробями, в конце выделяют целую часть.
247 + 157
Переводим в неправильные дроби
247 = 187, 157 = 127
Складываем
187 + 127 = 307
Выделяем целую часть
307 = 427
Ответ
427
Тот же ответ, что при сложении по частям
Этот способ удобен, когда целые части маленькие: при больших целых числители растут, и считать труднее. Если учитель требует определённый способ, лучше следовать ему.
Типичные ошибки
Складывают знаменатели
112 + 213 = 325
Почему возникает. Ребёнок складывает числители, а заодно и знаменатели: дробь для него — два отдельных числа.
356
Как объяснить. Спросите ребёнка: «Мы складывали половины и трети — откуда в ответе пятые?» Половины и трети сначала приводят к общему знаменателю, и тогда выходит 356.
Оставляют неправильную дробь в ответе
247 + 157 = 397
Почему возникает. Ребёнок сложил целые и дробные и считает пример решённым: целую внутри 97 сразу не видно.
397 = 427
Как объяснить. Попросите ребёнка сравнить числитель и знаменатель: «Что больше в 97 — числитель или знаменатель? А что это значит для ответа?» Если ребёнок не видит целую, вернитесь к переходу через целое.
Вычитают «наоборот»
615 − 235 = 425
Почему возникает. Из 15 три пятых не вычесть, и ребёнок отнимает 15 от 35: с натуральными числами он привык вычитать из большего меньшее.
335
Как объяснить. Предложите проверить сложением: « 425 + 235 = 7, а должно получиться 615. Значит, ответ неверный». Верный ответ даёт заём единицы.
Заняли, но не уменьшили целую часть
665 − 235 = 435
Почему возникает. Ребёнок добавил к долям 55 и забыл, что взял их у целых.
615 = 565, ответ 335
Как объяснить. Напомните ребёнку: «Мы разменяли одну целую на доли — значит, целых стало на одну меньше». Если трудно, повторите заём единицы.
Вычитают дробь из целого без размена
5 − 38 = 538 или 438
Почему возникает. У 5 нет дробной части, и ребёнок приписывает 38, как при сложении, или отнимает единицу, не разменяв её на восьмые.
5 = 488, ответ 458
Как объяснить. Повторите вместе размен: «Одну из пяти единиц разменяем на восьмые: будет 4 целых и 88. Отнимем 38 — останется 458». Подробнее — в разделе о вычитании из целого.
К общему знаменателю привели только одну дробь
5312 − 223
Почему возникает. Внимание уходит на подбор знаменателя и первую дробь, а вторая остаётся как была.
223 = 2812
Как объяснить. Перед вычитанием проверьте вместе: «Знаменатели у обеих дробей теперь одинаковые?» Дальше 312 меньше 812, поэтому понадобится заём. Весь пример разобран в разделе о разных знаменателях.
Следующий шаг — умножение дробей и деление дробей, в том числе смешанных чисел.
Памятки по теме
Если нужно быстро вспомнить тему или объяснить её ребёнку, не обязательно перечитывать весь материал. Мы собрали две короткие памятки: для родителя — с готовым алгоритмом объяснения, и для ребёнка — со сложением по частям и заёмом единицы.
Откройте памятку на экране или скачайте их для печати.
Закрепить тему на заданиях
Когда ребёнок складывает и вычитает смешанные числа по частям, дайте короткую серию примеров. Скачайте задания и отдельный файл с ответами для проверки или попробуйте онлайн-тренажёр.